Cerinta:

Pentru sistemul de mai jos, considerand ca bara are o sectiune rectangulara cu latura d=100mm, o lungime L=10m si forta F=10kN e aplicata la o distanta a=4m de primul suport, sa se determine:

1. Reactiunile in suporti

2. Momentul incovoietor maxim si forta taietoare maxima

3. Tensiunea maxima din incovoiere

4. Tensiunea maxima din forfecare

5. Tensiunea combinata maxima 

grinda simplu rezemata cu forta concentrataRezolvare:

1. Se noteaza pe bara, de la 1 la 3, locatiile unde avem elemente distincte.

grinda simplu rezemata cu forta concentrata reactiuni

In suportul din partea stanga va apare o forta de reactiune care are o componenta verticala si una orizontala. In suportul din partea dreapta va apare o reactiune doar cu o componenta verticala.

Datorita tipului de suporti, ambele capete au moment rezultant nul. Folosind aceasta caracteristica se determina pe rand cele 2 rezultante verticale. Sensul ales pentru sumarea momentelor este irelevant.

ΣM1 = 0:   V3*L – F*a = 0           =>   V3 = F*a / L         => V3 = 10kN * 4m / 10m = 4kN

ΣM3 = 0:   V1*L – F*(L – a) = 0  =>   V1 = F*(L – a)/L  => V1 = 10kN * (10m – 4m) / 10m = 6kN

Forta H1 este nula deoarece forta F nu are o componenta orizontala.

2. Fie X distanta de la stanga barei la un punct pe aceasta. Se noteaza cu s si d limitele functiilor la stanga si dreapta.

Pe portiunea 1-2:

X = [0m , 4m)

T(x) = V1

=> T1d = V1 = 6kN

=> T2s = V1 = 6kN

M(x) = V1 * X

=> M1d = V1 * 0 = 0 kNm

=> M2s = V1 * a =  24 kNm

Pe portiunea 2-3:

X = [4m , 10m)

Se face torsorul in locatia 2 a fortelor si momentelor aflate la stanga pozitiei si se scriu ecuatiile determinante:

T(x) = V1 – F

=> T2d = V1 – F = -4kN

=> T3s = V1 – F = -4kN

M(x) = V1 * a – F * X

=> M2d = V1 * a – F * 0 = 24 kNm

=> M3s = V1 * a – F * (L-a) =  0 kNm

Se observa ca T(x) este constanta pe parcursul intervalelor iar M(x) este o functie dependenta liniar de X.

Functiile fortelor si momentelorIn graficul de mai sus forta taietoare pozitiva se traseaza in sus iar momentul incovoietor pozitiv se traseaza in jos (pe fibra intinsa a barei).

Se observa ca momentul maxim este in locatia 2 si are valoarea Mmax = 24kNm.

Forta taietoare maxima este constanta pe portiunea 2-3 si are valoarea Tmax = V3 = 6kN.

3. Pentru determinarea tensiunii maxime din incovoiere trebuie sa se calculeze initial modulul de rezistenta la invovoiere (W). Pentru sectiunea noastra, momentul de inertie este:

I = d * d^3 / 12 = 100 * 100^3 / 12 = 8333333 mm^4

W = I / (d/2) = 166666 mm^3

σmax = Mmax / W = 24 000 000 Nmm / 166666 mm^3 = 144 MPa

4. Forta maxima de forfecare este valoare absoluta masurata de la axa graficului de mai sus pana la cel mai indepartat punct pe functie.

Tmax = V3 = 6 kN

τmax = Tmax / A = 6 000 N / 100^2 mm^2 = 0.6 MPa

5. Pentru barele unde o dimensiune (lungimea) e semnificativ mai mare decat celelalte doua (latimea si inaltimea) forfecarea se poate neglija si tensiunea combinata maxima sa se considere egala cu tensiunea maxima din incovoiere.

Obs.: Pentru cazurile unde cele 3 dimensiuni sunt proportionale, tensiunea combinata maxima (incovoiere + forfecare) se poate determina cu ecuatia VON MISES:

σechivalent = (σ^2 + 3τ^2) ^ (1/2)

Link-uri utile:

http://www.scandinaos.com/Current%20projects/TTS/Chapter%202%20Bending%20shearing%20tension.pdf

http://academic.uprm.edu/pcaceres/Courses/MMII/IMoM-6B.pdf

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.