Cerinta:
Pentru sistemul de mai jos, considerand ca bara are o sectiune rectangulara cu latura d=100mm, o lungime L=10m si forta F=10kN e aplicata la o distanta a=4m de primul suport, sa se determine:
1. Reactiunile in suporti
2. Momentul incovoietor maxim si forta taietoare maxima
3. Tensiunea maxima din incovoiere
4. Tensiunea maxima din forfecare
5. Tensiunea combinata maxima
Rezolvare:
1. Se noteaza pe bara, de la 1 la 3, locatiile unde avem elemente distincte.
In suportul din partea stanga va apare o forta de reactiune care are o componenta verticala si una orizontala. In suportul din partea dreapta va apare o reactiune doar cu o componenta verticala.
Datorita tipului de suporti, ambele capete au moment rezultant nul. Folosind aceasta caracteristica se determina pe rand cele 2 rezultante verticale. Sensul ales pentru sumarea momentelor este irelevant.
ΣM1 = 0: V3*L – F*a = 0 => V3 = F*a / L => V3 = 10kN * 4m / 10m = 4kN
ΣM3 = 0: V1*L – F*(L – a) = 0 => V1 = F*(L – a)/L => V1 = 10kN * (10m – 4m) / 10m = 6kN
Forta H1 este nula deoarece forta F nu are o componenta orizontala.
2. Fie X distanta de la stanga barei la un punct pe aceasta. Se noteaza cu s si d limitele functiilor la stanga si dreapta.
Pe portiunea 1-2:
X = [0m , 4m)
T(x) = V1
=> T1d = V1 = 6kN
=> T2s = V1 = 6kN
M(x) = V1 * X
=> M1d = V1 * 0 = 0 kNm
=> M2s = V1 * a = 24 kNm
Pe portiunea 2-3:
X = [4m , 10m)
Se face torsorul in locatia 2 a fortelor si momentelor aflate la stanga pozitiei si se scriu ecuatiile determinante:
T(x) = V1 – F
=> T2d = V1 – F = -4kN
=> T3s = V1 – F = -4kN
M(x) = V1 * a – F * X
=> M2d = V1 * a – F * 0 = 24 kNm
=> M3s = V1 * a – F * (L-a) = 0 kNm
Se observa ca T(x) este constanta pe parcursul intervalelor iar M(x) este o functie dependenta liniar de X.
In graficul de mai sus forta taietoare pozitiva se traseaza in sus iar momentul incovoietor pozitiv se traseaza in jos (pe fibra intinsa a barei).
Se observa ca momentul maxim este in locatia 2 si are valoarea Mmax = 24kNm.
Forta taietoare maxima este constanta pe portiunea 2-3 si are valoarea Tmax = V3 = 6kN.
3. Pentru determinarea tensiunii maxime din incovoiere trebuie sa se calculeze initial modulul de rezistenta la invovoiere (W). Pentru sectiunea noastra, momentul de inertie este:
I = d * d^3 / 12 = 100 * 100^3 / 12 = 8333333 mm^4
W = I / (d/2) = 166666 mm^3
σmax = Mmax / W = 24 000 000 Nmm / 166666 mm^3 = 144 MPa
4. Forta maxima de forfecare este valoare absoluta masurata de la axa graficului de mai sus pana la cel mai indepartat punct pe functie.
Tmax = V3 = 6 kN
τmax = Tmax / A = 6 000 N / 100^2 mm^2 = 0.6 MPa
5. Pentru barele unde o dimensiune (lungimea) e semnificativ mai mare decat celelalte doua (latimea si inaltimea) forfecarea se poate neglija si tensiunea combinata maxima sa se considere egala cu tensiunea maxima din incovoiere.
Obs.: Pentru cazurile unde cele 3 dimensiuni sunt proportionale, tensiunea combinata maxima (incovoiere + forfecare) se poate determina cu ecuatia VON MISES:
σechivalent = (σ^2 + 3τ^2) ^ (1/2)
Link-uri utile:
http://www.scandinaos.com/Current%20projects/TTS/Chapter%202%20Bending%20shearing%20tension.pdf
Rezistenta Materialelor 